中国科学院大学矩阵分析大作业：矩阵分解

对于矩阵A，根据不同的参数number实现不同方法的矩阵分解：高斯消元法的LU分解，基于Gram-Schmidt、Householder、Givens 的QR分解

function [QR]=Reduction（Anumber）
if number==1
 [QR]=LUcomposition（A）;
elseif number==2
      [QR] = GramSchmidt（A）;
elseif number==3
      [QR] = HouseHolder（A）;
elseif number==4
      [QR]=Givens（A）;
elseif error（‘not valid number‘）;
end
end
function [LU]=LUcomposition（A） %A=[2 2 2;4 7 7;6 18 22]  A=[10 20 30;20 45 80;30 80 171]
B=A;
[mn]=size（A）;
if m~=n
    error（‘不是方阵!‘）;
end
if rank（A）~=n
   error（‘奇异矩阵无法进行LU分解!‘）; %检测参数异常停止程序
end
L=eye（n）;
for i=1:n-1
    if abs（A（ii））        disp（‘zero pivot encountered--use PA=LU ‘）;
        [LU]=partialLUDecomposition（Bn）;
        return;
    end
    for j=i+1:n            
            L（ji）=A（ji）/A（ii）;
            A（j:）=A（j:）-（A（ji）/A（ii））*A（i:）;
    end
end
U=A;
disp（‘-----LU Reduction----- ‘）;
end
function [LU]=partialLUDecomposition（Am）  % A=[1 2 -3 4;4 8 12 -8;2 3 2 1;-3 -1 1 -4]
L=zeros（m）;
P=eye（m）;
for i=1:m-1
    index=find（abs（A（i:mi））==max（abs（A（i:mi））））;
    k=index+i-1;
    if k~=i
     L（[i k]:）=L（[k i]:）;
     A（[i k]:）=A（[k i]:）; 
     P（[i k]:）=P（[k i]:）; 
    end
    for j=i+1:m  
        L（ji）=A（ji）/A（ii）;
        A（j:）=A（j:）-（A（ji）/A（ii））*A（i:）;
    end
end
U=A;
L=L+eye（m）; 
disp（‘--partial LU Reduction---‘）; 
end
% 对m*n维的矩阵A具有线性无关列，进行基于Gram-Schmidt的QR分解：A=QR，其中Q为m*n维正交矩阵，R为n*n维上三角矩阵且对角线元素大于0
function [QR] =GramSchmidt（A）  %A=[0 -20 -14;3 27 -4;4 11 -2]
[m n] = size（A）;
if rank（A）~=n
   error（‘该矩阵无法进行进行基于Gram-Schmidt的QR分解!‘）; %检测参数异常停止程序
end
Q = zeros（ m n ）;
R = zeros（ n n ）;
R（11）= norm（ A（ : 1） ）;
Q（: 1） = A（ : 1）/R（ 1 1 ）;
 for k = 2: n
     for j = 1: k - 1
         R（ j k ） = Q（ : j ）‘ * A（ : k）;
     end
     q = zeros（ m 1 ）;    
     for j = 1: k - 1
         q = Q（ : j） * R（ j k ） + q;
     end   
     R（ k k ） = norm（ A（ : k ） - q ）;
     Q（ : k ） = （ A（ : k） - q ） / R（ k k ）;
 end
disp（‘---Gram-Schmidt Reduction---‘）; 
end
%%houseHolder进行QR分解 
function [QR]=HouseHolder（A） 
[m n] = size（A）; % m- number of rows n- number of columns
if m > n
    num = n;%the number of housholder matrix
else
    num = m - 1;
end
a=A;
for i=1:num
    if i==1 
       u=a（:1）-norm（a（:1））*eye（m1）; 
       R=eye（m）-2*（u*u‘）/（u‘*u）; 
       Q=R; 
       R=R*A;
       fR=R;
    else
        a=R（i:mi:n）; 
        u=a（:1）-norm（a（:1））*eye（m-i+11）; 
        R1=eye（m-i+1）-2*（u*u‘）/（u‘*u）;
        R=[eye（i-1） zeros（i-1m-i+1）;zeros（m-i+1i-1）R1]; 
        Q=Q*R; 
        R=R*fR; 
        fR=R;
    end
end
disp（‘------Householder Reduction------‘）; 
end

function [QR]=Givens（A）%A是
[mn]=size（A）; %m行数n列数 A=[1 19 -34;-2 -5 20;2 8 37]
R=A;
Q=eye（m）;
for i=1:n-1 
    for j=i+1:m 
        x=R（:i）;
        G=givensmatrix（xij）;
        %Q=Q*G‘;
        Q=G*Q;
        R=G*R;
    end
end
Q=Q‘;
disp（‘----Givens Reduction----‘）;
end
function G=givensmatrix（xij）
xi=x（i）;          
xj=x（j）;
r=sqrt（xi^2+xj^2）;
c=x

 属性            大小     日期    时间   名称
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     文件        3187  2018-12-26 00:16  矩阵分解\Reduction.m
     文件       43759  2018-12-26 00:36  矩阵分解\说明文档.docx