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    发布日期: 2023-10-25
  • 语言: 其他
  • 标签: 有限差分  相容性  

资源简介

【有限差分初学者必备】如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分;如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确,还需从理论上分析差分方程组的性态,包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。对于一个微分方程建立的各种差分格式,为了有实用意义,一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程,这就是相容性要求。另外,一个差分格式是否有用,最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解,这就是收敛性的概念。此外,还有一个重要的概念必须考虑,即差分格式的稳定性。因为差分格式的计算过程是逐层推进的,在计算第n+1层的近似值时要用到第n层的近似值 ,直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差,必然影响到后面各层的值,如果误差的影响越来越大,以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖,这种格式是不稳定的,相反如果误差的传播是可以控制的,就认为格式是稳定的。只有在这种情形,差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。关于差分格式的构造一般有以下3种方法。最常用的方法是数值微分法,比如用差商代替微商等。另一方法叫积分插值法,因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理,一般可以通过积分形式来表示。此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。

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