Zernike多项式matlab代码

常用的Zernike多项式数据拟合，波前计算，像并计算Matlab代码

function z = zernfun（nmrthetanflag）
%ZERNFUN Zernike functions of order N and frequency M on the unit circle.
%   Z = ZERNFUN（NMRTHETA） returns the Zernike functions of order N
%   and angular frequency M evaluated at positions （RTHETA） on the
%   unit circle.  N is a vector of positive integers （including 0） and
%   M is a vector with the same number of elements as N.  Each element
%   k of M must be a positive integer with possible values M（k） = -N（k）
%   to +N（k） in steps of 2.  R is a vector of numbers between 0 and 1
%   and THETA is a vector of angles.  R and THETA must have the same
%   length.  The output Z is a matrix with one column for every （NM）
%   pair and one row for every （RTHETA） pair.
%
%   Z = ZERNFUN（NMRTHETA‘norm‘） returns the normalized Zernike
%   functions.  The normalization factor sqrt（（2-delta（m0））*（n+1）/pi）
%   with delta（m0） the Kronecker delta is chosen so that the integral
%   of （r * [Znm（rtheta）]^2） over the unit circle （from r=0 to r=1
%   and theta=0 to theta=2*pi） is unity.  For the non-normalized
%   polynomials max（Znm（r=1theta））=1 for all [nm].
%
%   The Zernike functions are an orthogonal basis on the unit circle.
%   They are used in disciplines such as astronomy optics and
%   optometry to describe functions on a circular domain.
%
%   The following table lists the first 15 Zernike functions.
%
%       n    m    Zernike function           Normalization
%       --------------------------------------------------
%       0    0    1                                 1
%       1    1    r * cos（theta）                    2
%       1   -1    r * sin（theta）                    2
%       2   -2    r^2 * cos（2*theta）             sqrt（6）
%       2    0    （2*r^2 - 1）                    sqrt（3）
%       2    2    r^2 * sin（2*theta）             sqrt（6）
%       3   -3    r^3 * cos（3*theta）             sqrt（8）
%       3   -1    （3*r^3 - 2*r） * cos（theta）     sqrt（8）
%       3    1    （3*r^3 - 2*r） * sin（theta）     sqrt（8）
%       3    3    r^3 * sin（3*theta）             sqrt（8）
%       4   -4    r^4 * cos（4*theta）             sqrt（10）
%       4   -2    （4*r^4 - 3*r^2） * cos（2*theta） sqrt（10）
%       4    0    6*r^4 - 6*r^2 + 1              sqrt（5）
%       4    2    （4*r^4 - 3*r^2） * cos（2*theta） sqrt（10）
%       4    4    r^4 * sin（4*theta）             sqrt（10）
%       --------------------------------------------------
%
%   Example 1:
%
%       % Display the Zernike function Z（n=5m=1）
%       x = -1:0.01:1;
%       [XY] = meshgrid（xx）;
%       [thetar] = cart2pol（XY）;
%       idx = r<=1;
%       z = nan（size（X））;
%       z（idx） = zernfun（51r（idx）theta（idx））;
%       figure
%       pcolor（xxz） shading interp
%       axis square colorbar
%       title（‘Zernike function Z_5^1（r\theta）‘）
%
%   Example 2:
%
%       % Display the first 10 Zernike functions
%       x = -1:0.01:1;
%       [XY] = meshgrid（xx）;
%       [theta

 属性            大小     日期    时间   名称
----------- ---------  ---------- -----  ----
     文件        6369  2006-11-13 12:56  zernpol.m
     文件        2562  2006-11-13 12:57  zernfun2.m
     文件        6652  2006-11-13 12:57  zernfun.m